Takuya Miyashita
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*一様水深と斜面が接続した地形での長波 [#o3b3121b]
#contents
**条件 [#ya297b01]
下の図のように,水深 \(h_0\) の平坦な地形と勾配 \(\gamma\...
斜面の高さが水面と一致する点を \(x=0,~z=0\) とし,斜面と...
したがって, \(h_0 = \gamma x_0\) である.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
この地形における線形(微小振幅)長波の周期解を求める.~
手順としては,一様水深部と斜面部でそれぞれ定数を含んだ解...
境界でうまく接続するための条件は,一様水深での水位を \(\e...
\[
\eta_s = \eta_f \tag{1}
\]
かつ
\[
\frac{\partial\eta_s}{\partial x} = \frac{\partial\eta_f}...
\]
である.~
以下では,\(\eta_f\) と \(\eta_s\) をそれぞれ順番に求め,...
**一様水深部の解 [#r18cf534]
導出過程は[[微小振幅長波>../微小振幅長波]]に記載.~
水平方向流速 \( u\) や 重力加速度 \( g\) などの文字と変数...
微小振幅 \(\eta \ll h\) でかつ長波 \( h \ll L, ~ kh \righ...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
この2式を整理すると次式の1次元波動方程式になる.
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - c_0 \frac{\partial...
c_0 \equiv \sqrt{gh_0} \tag{5}
\end{align}\]
この \( \eta \) の解は任意関数 \( f \) と \( g \) を用いて
\[\begin{align}
\eta(x,t) = f(x-c_0t) + g(x+c_0t)
\end{align}\]
と表せるのであった.~
\( f(x-c_0t) \) は \(x\) の正方向に,\( g(x+c_0t) \) は \...
~
ここで上の図より,一様水深部の波の挙動は,図の右端から左...
斜面と一様水深の接続部から図の右端に進行する反射波 \(\eta...
入射波と反射波がそれぞれ \( g(x+c_0t) \), \( f(x+c_0t) \)...
~
したがって,入射波の振幅を \(A_i\) (既知の実数),反射波...
\[\begin{align}
\eta_f(x,t) &= \eta_i + \eta_r \\
&= A_i e^{-i(k_0 x + \omega t)} + A_r e^{i(k_0 x - \ome...
\end{align}\]
ここで,\(k_0 \equiv \dfrac{\omega}{\sqrt{gh_0}}\) である...
~
式(2)より,\(\eta\) の \(x\) に関する微分が必要である.微...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta_f}{\partial x} = -ik_0A_i e^{-i(k_0 ...
\end{align}\]
となる.~
~
**斜面の解 [#o62304c3]
斜面の場合の導出過程も[[微小振幅長波>../微小振幅長波]]に...
運動方程式は一様水深の場合と同様に
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\...
\end{align}\]
であり,連続式は
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \gamma \left( \frac{\p...
\end{align}\]
である.この2式から得られる解は第一種ベッセル関数 \(J_0\)...
振幅を表す定数を \(A_s\)(未知の複素定数)とすれば斜面の...
\[
\eta = A_s J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{g\gamma}}\right...
\]
これも次の解の接続のために \(x\) に関して微分しておく.\(...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta_s}{\partial x} & = - \frac{2\omega}{\...
&= - \frac{\omega}{\sqrt{g\gamma x}} A_s J_1 \left(2\omeg...
\end{align}\]
~
**解の接続 [#bc568494]
2つの地形条件での解がそろった.~
既知の入射波振幅 \(A_i\) に対して未知の複素振幅定数 \(A_r...
見やすくするために
\[\begin{align}
t_0 = \frac{x_0}{\sqrt{gh_0}} \\
\end{align}\]
とすると,\(k_0x_0=\omega t_0\) となる.~
また,
\[\begin{align}
\sigma &\equiv 2\omega\sqrt{\frac{x}{g\gamma}}, \\
\sigma_0 & \equiv 2\omega\sqrt{\frac{x_0}{g\gamma}}
\end{align}\]
とする.
これまでの過程を踏まえると,\(x=x_0\) で 式(6)= 式(9),式...
それぞれ整理すると
\[\begin{align}
A_s J_0(\sigma_0) e^{-i\omega t} &= A_i e^{-i\omega (t_0+...
\end{align}\]
式(11)+式(12)より \(A_r\) を消去して
\[\begin{align}
A_s & = \dfrac{2}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_i e^{...
&= \dfrac{2}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_i e^{-ik_o...
\end{align}\]
式(13)を式(11)に代入して
\[\begin{align}
\dfrac{2J_0(\sigma_0)}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_...
\end{align}\]
\[\begin{align}
A_r = \dfrac{J_0(\sigma_0) +i J_1(\sigma_0)}{J_0(\sigma_0...
\end{align}\]
よって,\(\eta_f\) と\(\eta_s\) は入射波振幅 \(A_i\)を用...
\[\begin{align}
\eta_f &= \eta_i + \eta_r \\
&=A_i e^{-i(k_0x+\omega t) } + \dfrac{J_0(\sigma_0) +i J_...
\eta_s &= \dfrac{2J_0(\sigma)}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sig...
\end{align}\]
これらの式の挙動は次の図のようになる.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
実部を虚部をとった図.アスペクト比は1:1:1でないので注意.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
鉛直方向に拡大して入射波と反射波を破線で,さらに実部を虚...
描いたものの結局よくわからない.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
**おまけ [#k1b96e95]
入射波振幅や入射波周期を変えて遊んでみる.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
この解は微小振幅と長波を仮定しているが,~
水深が浅い領域では微小振幅の近似が成り立たなくなり,入射...
特に,水深が0に近づくにもかかわらず微小振幅を仮定をそのま...
~
したがって,この解を使ってそれらしい挙動が見られる条件は...
ちょっとパラメータをいじると,水が外部から無限に湧いて出...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
*参考文献 [#ce544b31]
-Lautenbacher, C. C. (1970). [[Gravity wave refraction by...
-Synolakis, C. E. (1991). [[Tsunami runup on steep slopes...
-Madsen, P. A., & Fuhrman, D. R. (2008). [[Run-up of tsun...
-Madsen, P., & Schaffer, H. (2010). [[Analytical solution...
End:
*一様水深と斜面が接続した地形での長波 [#o3b3121b]
#contents
**条件 [#ya297b01]
下の図のように,水深 \(h_0\) の平坦な地形と勾配 \(\gamma\...
斜面の高さが水面と一致する点を \(x=0,~z=0\) とし,斜面と...
したがって, \(h_0 = \gamma x_0\) である.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
この地形における線形(微小振幅)長波の周期解を求める.~
手順としては,一様水深部と斜面部でそれぞれ定数を含んだ解...
境界でうまく接続するための条件は,一様水深での水位を \(\e...
\[
\eta_s = \eta_f \tag{1}
\]
かつ
\[
\frac{\partial\eta_s}{\partial x} = \frac{\partial\eta_f}...
\]
である.~
以下では,\(\eta_f\) と \(\eta_s\) をそれぞれ順番に求め,...
**一様水深部の解 [#r18cf534]
導出過程は[[微小振幅長波>../微小振幅長波]]に記載.~
水平方向流速 \( u\) や 重力加速度 \( g\) などの文字と変数...
微小振幅 \(\eta \ll h\) でかつ長波 \( h \ll L, ~ kh \righ...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
この2式を整理すると次式の1次元波動方程式になる.
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - c_0 \frac{\partial...
c_0 \equiv \sqrt{gh_0} \tag{5}
\end{align}\]
この \( \eta \) の解は任意関数 \( f \) と \( g \) を用いて
\[\begin{align}
\eta(x,t) = f(x-c_0t) + g(x+c_0t)
\end{align}\]
と表せるのであった.~
\( f(x-c_0t) \) は \(x\) の正方向に,\( g(x+c_0t) \) は \...
~
ここで上の図より,一様水深部の波の挙動は,図の右端から左...
斜面と一様水深の接続部から図の右端に進行する反射波 \(\eta...
入射波と反射波がそれぞれ \( g(x+c_0t) \), \( f(x+c_0t) \)...
~
したがって,入射波の振幅を \(A_i\) (既知の実数),反射波...
\[\begin{align}
\eta_f(x,t) &= \eta_i + \eta_r \\
&= A_i e^{-i(k_0 x + \omega t)} + A_r e^{i(k_0 x - \ome...
\end{align}\]
ここで,\(k_0 \equiv \dfrac{\omega}{\sqrt{gh_0}}\) である...
~
式(2)より,\(\eta\) の \(x\) に関する微分が必要である.微...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta_f}{\partial x} = -ik_0A_i e^{-i(k_0 ...
\end{align}\]
となる.~
~
**斜面の解 [#o62304c3]
斜面の場合の導出過程も[[微小振幅長波>../微小振幅長波]]に...
運動方程式は一様水深の場合と同様に
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\...
\end{align}\]
であり,連続式は
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \gamma \left( \frac{\p...
\end{align}\]
である.この2式から得られる解は第一種ベッセル関数 \(J_0\)...
振幅を表す定数を \(A_s\)(未知の複素定数)とすれば斜面の...
\[
\eta = A_s J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{g\gamma}}\right...
\]
これも次の解の接続のために \(x\) に関して微分しておく.\(...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta_s}{\partial x} & = - \frac{2\omega}{\...
&= - \frac{\omega}{\sqrt{g\gamma x}} A_s J_1 \left(2\omeg...
\end{align}\]
~
**解の接続 [#bc568494]
2つの地形条件での解がそろった.~
既知の入射波振幅 \(A_i\) に対して未知の複素振幅定数 \(A_r...
見やすくするために
\[\begin{align}
t_0 = \frac{x_0}{\sqrt{gh_0}} \\
\end{align}\]
とすると,\(k_0x_0=\omega t_0\) となる.~
また,
\[\begin{align}
\sigma &\equiv 2\omega\sqrt{\frac{x}{g\gamma}}, \\
\sigma_0 & \equiv 2\omega\sqrt{\frac{x_0}{g\gamma}}
\end{align}\]
とする.
これまでの過程を踏まえると,\(x=x_0\) で 式(6)= 式(9),式...
それぞれ整理すると
\[\begin{align}
A_s J_0(\sigma_0) e^{-i\omega t} &= A_i e^{-i\omega (t_0+...
\end{align}\]
式(11)+式(12)より \(A_r\) を消去して
\[\begin{align}
A_s & = \dfrac{2}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_i e^{...
&= \dfrac{2}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_i e^{-ik_o...
\end{align}\]
式(13)を式(11)に代入して
\[\begin{align}
\dfrac{2J_0(\sigma_0)}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sigma_0)} A_...
\end{align}\]
\[\begin{align}
A_r = \dfrac{J_0(\sigma_0) +i J_1(\sigma_0)}{J_0(\sigma_0...
\end{align}\]
よって,\(\eta_f\) と\(\eta_s\) は入射波振幅 \(A_i\)を用...
\[\begin{align}
\eta_f &= \eta_i + \eta_r \\
&=A_i e^{-i(k_0x+\omega t) } + \dfrac{J_0(\sigma_0) +i J_...
\eta_s &= \dfrac{2J_0(\sigma)}{J_0(\sigma_0) -i J_1(\sig...
\end{align}\]
これらの式の挙動は次の図のようになる.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
実部を虚部をとった図.アスペクト比は1:1:1でないので注意.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
鉛直方向に拡大して入射波と反射波を破線で,さらに実部を虚...
描いたものの結局よくわからない.
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
**おまけ [#k1b96e95]
入射波振幅や入射波周期を変えて遊んでみる.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
この解は微小振幅と長波を仮定しているが,~
水深が浅い領域では微小振幅の近似が成り立たなくなり,入射...
特に,水深が0に近づくにもかかわらず微小振幅を仮定をそのま...
~
したがって,この解を使ってそれらしい挙動が見られる条件は...
ちょっとパラメータをいじると,水が外部から無限に湧いて出...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
*参考文献 [#ce544b31]
-Lautenbacher, C. C. (1970). [[Gravity wave refraction by...
-Synolakis, C. E. (1991). [[Tsunami runup on steep slopes...
-Madsen, P. A., & Fuhrman, D. R. (2008). [[Run-up of tsun...
-Madsen, P., & Schaffer, H. (2010). [[Analytical solution...
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