Takuya Miyashita
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*畳み込み積分のフーリエ変換とラプラス変換 [#a3f3d47d]
**畳み込み積分 [#q04b2beb]
まず,関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) の畳み込み積分(重畳積分...
\[ \
f \ast g (t) = \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau...
\]
**畳み込み積分のフーリエ変換 [#x0e45cde]
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\o...
畳み込み積分のフーリエ変換の有名な性質
\[
\int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-...
= F(\omega)G(\omega)\tag{2} \
\]
を示す.~
\[ \begin{align}
& \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-i\omega \tau} ...
= & ~F(\omega) G(\omega) \\
\end{align} \]
2行目は式の整理,~
3行目は \(t\) から \(t'\) への変数変換,~
4行目は変数変換で出てきた \(e^{-i\omega \left(t'+\tau\rig...
~
~
**畳み込み積分のラプラス変換 [#l3aed192]
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のラプラス変換をそれぞれ \(F(s)...
\( t<0\) のとき \(f(t) = 0\) かつ \(g(t) = 0\) を仮定すれ...
\[ \
\int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau)...
= F(s) G(s)\tag{3} \
\]
~
\(t-\tau=t'\) として変数変換すると簡単になるのはフーリエ...
畳み込み積分とラプラス変換のそれぞれの積分区間と,\( t<0\...
\[ \begin{align}
& \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\ta...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_0^\infty dt ~...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_{-\tau}^\inft...
= & \int_0^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-s\tau} \int_0^\inft...
= & ~F(s) G(s) \\
\end{align} \]
End:
*畳み込み積分のフーリエ変換とラプラス変換 [#a3f3d47d]
**畳み込み積分 [#q04b2beb]
まず,関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) の畳み込み積分(重畳積分...
\[ \
f \ast g (t) = \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau...
\]
**畳み込み積分のフーリエ変換 [#x0e45cde]
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\o...
畳み込み積分のフーリエ変換の有名な性質
\[
\int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-...
= F(\omega)G(\omega)\tag{2} \
\]
を示す.~
\[ \begin{align}
& \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-i\omega \tau} ...
= & ~F(\omega) G(\omega) \\
\end{align} \]
2行目は式の整理,~
3行目は \(t\) から \(t'\) への変数変換,~
4行目は変数変換で出てきた \(e^{-i\omega \left(t'+\tau\rig...
~
~
**畳み込み積分のラプラス変換 [#l3aed192]
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のラプラス変換をそれぞれ \(F(s)...
\( t<0\) のとき \(f(t) = 0\) かつ \(g(t) = 0\) を仮定すれ...
\[ \
\int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau)...
= F(s) G(s)\tag{3} \
\]
~
\(t-\tau=t'\) として変数変換すると簡単になるのはフーリエ...
畳み込み積分とラプラス変換のそれぞれの積分区間と,\( t<0\...
\[ \begin{align}
& \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\ta...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_0^\infty dt ~...
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_{-\tau}^\inft...
= & \int_0^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-s\tau} \int_0^\inft...
= & ~F(s) G(s) \\
\end{align} \]
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